Sie kennen es bestimmt. Sie stehen in einem Autostau und fragen sich am Ende des Staus, warum Sie eigentlich im Stau standen. Das Problem ist seit einigen Jahrzehnten bekannt. Viele Wissenschaftler haben sich schon damit auseinander gesetzt. So kenne ich persönlich eine Person, die an einem Leitsystem für medizinische Proben arbeitete, und versucht hat das Problem zu lösen. Alle bisherigen Lösungsmöglichkeiten sind aktuell gescheitert. Dabei würde es reichen, zu wissen, wann keine weiteres Auto mehr auf die Strecke darf, bevor die Strecke voll ist.
Die hier präsentierte Lösungsmöglichkeit gibt einen einmaligen Ansatz, der das Problem effektiv löst. Der Lösungsvorschlag ist auf Ihre individuelle Situation anpassbar und basiert auf schon bekannten Theorien aus der Mathematik.
Einführung
Bei der Beobachtung vieler Menschen bei Stau hat sich der Begriff "Stau aus dem Nichts" eingebürgert. Es gibt dazu einen Beitrag in Wikipedia, siehe [1].Das Problem besteht darin, dass viele Einheiten, beispielsweise Autos, auf eine räumlich beschränkte Strecke fahren, und von dieser wieder abfahren müssen. Bei mehr als einer Spur gehen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon aus, dass auf beiden Spuren jeweils ein Auto gleichzeitig auffährt.
Wenn nun viele Autos auf diese eine Strecke fahren, kommt es gelegentlich zu Stau. Das wird verursacht, aus dem Grund, das vorherige Autos mit niedrigerer Frequenz abfahren, als sie aufgefahren sind.
D.h., zu einem Zeitpunkt, ist die Frequenz in der die Autos auffahren höher, als die Frequenz, in der sie wieder abfahren. Dadurch entsteht eine Überfüllung der Strecke und damit Stau.
Naive Variante
Im weiteren sprechen wir von Einheiten, anstelle von beispielsweise Autos. Dies können auch Container oder Güter sein. Ja, selbst Menschenströme lassen sich damit berechnen.Jeder würde sagen: Wenn das Problem in der Eingangsfrequenz bezüglich der Ausgangsfrequenz liegt, dann lässt es sich doch lösen, indem man einfach die Eingangsfrequenz niedriger als die Ausgangsfrequenz hält.
D.h. man misst am Anfang, z.B. pro Sekunde, wie viele Einheiten die Strecke betreten und misst am Ende, wie viele Einheiten die Strecke pro Sekunde verlassen. Dabei hält man die Frequenz der zusteigenden Einheiten niedriger als die Frequenz der verlassenden Einheiten.
Das würde dazu führen, dass keine Einheiten rein gelassen würden, da die Ausgangsfrequenz beim Start gleich 0 ist.
Also wird eine anfängliche Ausnahme gemacht. Es wird z.B. für 5 Sekunden immer rein gelassen, um danach dann wieder nur rein zu lassen, wenn die Ausgangsfrequenz höher ist.
Da es unbekannt ist, wie schnell die Einheiten rein kommen, kann es nun passieren, dass die Strecke schon voll ist, bevor überhaupt eine Einheit den Ausgang erreicht.
Wie viele Einheiten demnach auf die Strecke passen, kann vorher ermittelt werden und dann am Eingang eingestellt werden.
Z.B. wird festgestellt, dass 5 Sekunden zu lange ist für die übliche Zugangsmenge. Deshalb sind die 5 Sekunden auf 3 Sekunden reduziert.
Jetzt bildet sich kein Stau mehr, denn die Strecke ist nicht voll, wenn 3 Sekunden zugelassen werden.
Jedoch entstehen Lücken, in denen die Stecke nicht ausgelastet ist.
Zusätzlich können die Einheiten auch schneller eintreffen als gewöhnlich, so das 3 Sekunden vielleicht doch zu lange sind. So besteht die Gefahr, dass es wieder Stau gibt.
Wenn jetzt mehrmals hintereinander eine höhere als die durchschnittliche Frequenz kommt, dann bildet sich wieder Stau auf der Strecke.
Mit einer Frequenz und Zeitmessung kann das Problem leider nicht gelöst werden.
Die Idee eine Art Belastungsfrequenz für die Stecke zu spezifizieren, anstelle die Eingangszeit als Grenzwert zu verwenden, hilft leider nicht. Dadurch ändert sich das Problem nicht, da Zeitgrenzwert = Anzahl * Belastungsfrequenz ist.
(Belastungsfrequenz = Anzahl/Zeit)
Warum funktioniert das "Naive Verfahren" nicht?
Das Naive Verfahren funktioniert nicht, da es erst-mal nur mit Mittelwerten rechnet, und es zum Anderen auch nicht prognostiziert. D.h. es ist erst bekannt, wann es zu Stau kommen kann, wenn es schon zu spät ist. Das liegt daran, dass nur der Vergleich zwischen Eingang und Ausgang möglich ist.Natürlich ist es möglich nun mehrere Messpunkte zu installieren, jedoch reduziert sich das Problem dann nur auf eine kleinere Strecke.
Kenntnis aus der Mathematik
Prof. Dr. Günther Dueck von IBM hat ein bekanntes mathematisches Phänomen in seinem Vortrag an der Hochschule Aalen am 18.05.2015[4] beschrieben:Es lässt sich anhand des Auslastungsgrades ermitteln, wie viele Einheiten in der Warteschlange stehen. Er nennt dies die "Warteschlangenformel"[2].
Das verwendete Beispiel war die Kassiererin im Supermarkt. Sie hat z.B. eine Auslastung von 80%, dann stehen im Schnitt
Auslastung / (1 – Auslastung) = erwartete Anzahl der Kunden an der Kasse = a
0,80 / (1 – 0,80) = 4,0 Kunden an der Kasse
Im Vortrag wurde nochmal die erwartete Anzahl a mit der Auslastung multipliziert, um auf die durchschnittliche Länge der Schlange, in dem Moment, indem der Nächste dazu stoßt, zu bestimmen. Doch dies ist für den Anwendungsfall hier uninteressant, da wir nur die "Belastung der Strecke" wissen möchten.
Neue einmalige Lösung
Nun gibt es hier eine Lösung des "Stau aus dem Nichts" Problems, indem die Belastung der Strecke über die Warteschlangenformel bestimmt wird.Dies ist eine einmalige und einzige Verknüpfung der Formeln und Probleme für Sie, welche individuell angepasst werden kann.
Es gibt die Eingangsfrequenz fe und die maximale Anzahl von Einheiten auf der Strecke a_max.
Es wird die Warteschlangenformel angewandt. Dies ergibt die erwartete Anzahl a von Einheiten auf der Strecke:
a = fe/(1-fe)
Lösung
Es darf nun keine weitere Einheit auf die Strecke kommen, wenn a > a_max.
Resümee
Die "Warteschlangenformel" hilft zur Regulierung des Eingangs auf die Stecke. Mit dieser Formel und der Anwendung der oben beschriebenen Methode, gibt es eine Prognose, die es ermöglicht den Stau rechtzeitig zu verhindern. Und es gibt eine Differenzenbildung, welche besser ist als die Mittelwertberechnung im Naiven Verfahren. (Siehe dazu, hier weiter oben: "Warum das Naive Verfahren scheitert?")Generell sind Differenzenbildung gegenüber reinen Mittelwerten bei Problemen mit Bewegung, immer zu bevorzugen. Reine Mittelwerte bedeutet hier nur den Mittelwert berechnen über die Eingangsgröße. Wird der Mittelwert über die Differenz gebildet, ist hier nicht der "reine" Mittelwert gemeint.
Ausschau
Ein weitere Zusammenhang, zum "Stau aus dem Nichts", ist die "logarithmic transformation concentration"[5] oder auch "Hill equation"[3].
Dabei wird versucht die restliche Konzentration in einer Lösung aufgrund von gebundenen und ungebunden Elementen zu ermitteln.
Es ergibt sich die restliche Anzahl der freien Elemente entlang der Zeit, nach dem Verlauf der Funktion:
a_free = log( phi/ (1 - phi)),
wobei phi, die Formel wie in[3] beschrieben ist und das Verhältnis zwischen freien Elementen und gesamten Elementen beschreibt.
Bei dem "Stau aus dem Nichts" Problem wird nur der Logarithmus weg gelassen, der hier der Staugeschwindigkeit, also der Neigung der Einheiten zu einem Stau - a la. gute Fahrer neigen weniger zu Stau - entspricht.
Auch wird das Verhältnis freie Einheiten zu gesamte Einheiten und nicht belegte Einheiten zu gesamte Einheiten betrachtet.
So ist klar, dass die Hill Equation eine Anlehnung an die Warteschlangenformel ist und umgekehrt.
Bleibt noch zu klären, wie sich der Logarithmus in der "Stau aus dem Nichts" Problematik erklären lässt.
Der Logarithmus in der Hill Equation wird in der "Stau aus dem Nichts"-Lösung hier, durch die wiederholte Bestimmung der Eingangsfrequenz ersetzt.
Beginnen Sie Ihr System individuell anzupassen, so erhalten Sie hiermit eine bessere und zufriedenstellende Lösung. (ca. 20% Steigerung)
Mit freundlichen Grüßen,
Sebastian Böhmer
Referenzen
[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Stau_aus_dem_Nichts
[2] http://blog.kvd.de/2015/07/09/was-eine-schlange-an-der-supermarktkasse-mit-ihrem-persoenlichen-arbeitspensum-zu-tun-hat-2/
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Hill_equation_%28biochemistry%29
[4] https://www.hs-aalen.de/en/news/263
[5] https://www.comsol.com/support/knowledgebase/952/
